長方形的面積公式爲什麼是長乘寬

長方形的面積公式爲什麼是長乘寬，長方形的面積公式是算面積的時候經常能用到的，還有很多面積公式都是先人推理出來給我們的，那長方形的面積公式爲什麼是長乘寬，以下是相關內容，一起來看看吧。

長方形的面積公式爲什麼是長乘寬1

用1平方釐米的小正方形擺長方形，長方形的面積就是所有小正方形的面積和。

每排小正方形的個數乘以排隊數，而每排小正方形的個數又正好是長邊所含釐米數，(因爲每個小正方形的邊長是1釐米，所以長邊擺了幾個小正方形就是幾釐米），排數又正好是寬邊所含釐米數，所以長方形的面積等於長乘以寬。

判定

1、有一個角是直角的平行四邊形是長方形。

2、對角線相等的平行四邊形是長方形。

3、鄰邊互相垂直的平行四邊形是長方形。

4、有三個角是直角的四邊形是長方形。

5、對角線相等且互相平分的四邊形是長方形。

長方形的性質：

1、兩條對角線相等；

2、兩條對角線互相平分；

3、兩組對邊分別平行；

4、兩組對邊分別相等；

5、四個角都是直角。

周長的公式：

1、圓：C=πd=2πr (d爲直徑，r爲半徑，π)

2、三角形的周長C = a+b+c(abc爲三角形的三條邊)

3、四邊形：C=a+b+c+d（abcd爲四邊形的邊長）

4、特別的：長方形：C=2(a+b) （a爲長，b爲寬）

5、正方形：C=4a（a爲正方形的邊長）

6、多邊形：C=所有邊長之和。

長方形的面積公式爲什麼是長乘寬2

爲什麼矩形面積等於長乘寬？

長方形的面積公式並不是定義，而是根據幾個基本原理的推論。

首先全等的圖形面積應該都相等，而長和寬對應相等的長方形是全等的'，所以面積是長和寬的函數f(a,b)。這裏我們不限定長和寬的大小關係，也就有f(a,b)=f(b,a)。

其次，面積是恆正的函數，不存在面積爲負的情況，邊長不爲0時面積不爲0。

第三，面積應該具有可加性，兩個圖形拼起來的面積是兩者之和。對於長相等的長方形，將它們對齊長邊，把寬邊拼在一起，可以形成另一個長方形，寬是兩者之和，這意味着f(a1+a2,b)=f(a1,b)+f(a2,b)

從這個式子中，可以進一步得出：

1、f關於a單調遞增（作差利用恆正性）

2、對於任意有理數q，有q f(a,b) = f(qa,b)

3、f關於a連續（即證明f(a,b)在a趨向於0時右極限爲0，首先單調遞減有下界所以極限一定存在，其次用第二條證明f(a,b)可以任意接近於0，因此就是0）

4、對於任意實數u，有u f(a,b) = f(ua,b)

5、因此，f(a,b)=af(1,b)

6、同理，f(a,b) = bf(a,1)，因此f(a,b)=abf(1,1)

可以看出面積必須是ab的常數倍，爲了使用方便可以規定f(1,1)=1，規定是其他的常數也不影響面積的根本性質。因此f(a,b) = ab。

在這其中主要運用的是面積的測度性質和歐式空間屬於內積空間的性質。面積恆正可加是測度性質，面積在正交變換下保持不變是歐式空間的內積空間性質。在此基礎上可以推出長方形面積的雙線性特徵。

1、邊長爲1的正方形面積是1

這個假設是很自然的…因爲邊長1的正方形總要有一個面積吧！定義成啥無所謂的…

2、如果一個矩形是幾個內部不相交的矩形的並，那麼大矩形的面積是那些小矩形面積之和

這個假設很自然吧…

那麼現在邊長是整數的矩形的面積等於我們期待的面積公式了

事實上邊長有理數的也對，只要假設:

0邊長分別相等的兩個矩形的面積相等

之所以用0是因爲忘了這回事…

然後，邊長分別爲1、n，1、m的矩形面積是1、mn，從而對邊長有理數的矩形，面積等於長·寬

3、兩個矩形的長相等，則寬大的面積也更大，寬相等，則長大的面積也大

這樣，對邊長是實數的矩形，結論也成立了

事實上這個問題本質上是…Cauchy函數方程的單調解在規範化假設下是唯一的…就是線性的解

從數學術語來，確定是個測度問題。

但是這和用皮亞諾證明“1+1=2”是一回事，數學邏輯的嚴密性並不是用來證明原始定義的。

當然，這個原始定義不是定義長方形的面積(或體積)公式，而是定義單位正方形的面積(或體積)爲1。

測度，形象的說法就是比較大小。一維線段比大小使用長度，二維平面比大小使用面積，三維空間比大小使用體積。

這些概念和“1+1=2”一樣都是定義，來自生活，所以數學邏輯嚴密化，不但改變不了原始定義，還必須去符合原始定義。(這不是說數學嚴密化沒意義，相反，嚴密化的意義很重大，每次嚴密化基本都會帶來數學體系的拓展。)

我們對兩個不同事物的大小進行比較，應該僅且僅有一種結果(大於或等於或小於)。

因爲這涉及到資源的分配公正性。自然數概念最初來自分配果實和獵物，整體不夠分又產生了分數的概念。

顯然，我們的目的是使兩個人收穫一樣(或不一樣)。不能使用一種測度，結果卻出現兩人即一樣也不一樣。這樣模棱兩可的測度毫無公平性，也就不可能帶來穩定的社會秩序。

所以自然數和分數的構造必然都滿足這種性質，即任意兩個數只存在等於大於小於三種關係的一種。

自然數構造使用的“1+1=2”這個定義，可以完美地保證這種性質。空元記0，單位元記1，任何數加單位元大於其自身。

數域從自然數擴展到分數小數實數後，這個單位元就沒意義了。而且相反，這是一個錯誤觀念，導致部分人理解不了0、9…=1。

我們繼續說面積的定義，面積的概念來自土地的丈量和分配。

也是使用自然數的構造方法，選取定義一個單位面積元1，以此度量其他的面積，從而使面積和數相對應。

所以這裏最重要的就是定義什麼平面圖形的面積爲單位面積元1。

這種圖形，應該有以下兩個性質:

第一，邊長爲1，具有良好對稱性。這樣其自身的面積只和單位邊長1有關。滿足關係的是正n多邊形和圓。

第二，一定可以用整數個單位面積的該圖形無間隙組合成自身的放大圖形。

因爲n＞0時1^n=1，單獨從單位面積1我們沒法獲得其自身的面積公式。組成位似圖形則可以推斷出其自身的面積公式。

結合只有正三角形和正方形。

4個邊長1的正三角形可以組成1個邊長2的正三角形；

4個邊長1的正方形可以組成1個邊長2的正方形；

選擇正三角形，面積也一樣滿足邊長平方關係。那麼爲什麼選擇正方形而不選擇正三角形？

前面說了，丈量面積是爲了分田。第一，同樣邊長的正方形面積比正三角形面積大，田埂浪費的土地就小。第二，從肉眼上分辨，90°角準不準比60°準不準要容易判斷一些。

於是定義邊長1的正方形爲單位面積1。

在定義的同時，其實也確定了正方形的面積公式，S=a。(邊長每加1，增加部分的單位正方形的個數是一個公差爲2等差數列，1+3+5+…+2a-1=a)